Möglicherweise früher, jedoch nicht genauer zu datieren sind P.Neph. 47, 4 (4. Jh. n. Chr.; Herkunft unbekannt) und SB XIV 12217, 10 (1. Hälfte 4. Jh. n. Chr.; Hermopolites).
Das κούμουλον figuriert in Einzahlungsquittungen über Steuern in Naturalien mehrfach u. a. neben dem ναῦλον und dem σακκοφορικόν und stellt eine Ausgleichszahlung in Höhe von 1/30 Artabe dar, die offensichtlich dann zu erbringen war, wenn eine Steuerzahlung nicht in modi cumulati, sondern in modi xysti bemessen wurde. Da der Unterschied zwischen beiden Maßen genau 1/30 Artabe beträgt, diente die κούμουλον-Gebühr also dazu, diese Differenz zu kompensieren, z. B. den ausführlicheren Kommentar von B. Kramer und J. C. Shelton zu P.Neph. 43 a. a. O. Vorbehalte gegenüber dieser Darstellung äußert dagegen K. A. Worp in CPR XVIIA a. a. O.
P.Jena II 8, Komm. zu Z. 14, S. 48. CPR XVIIA 7, Komm. zu Z. 9-12, S. 29. P.Neph. 43, Komm. zu Z. 7, S. 133. P.Oxy. XLVIII 3995, Komm. zu Z. 12, S. 91. Meyer-Termeer, A. J. M., Die Haftung der Schiffer im griechischen und römischen Recht, Zutphen 1978, 13.